Las nueve ya, hay que hacer la cena, compañeros. Ya conocéis mi apetito por el marisco gallego, de manera que voy a sacar el centollo del frigo, antes de que se nos estropee. Como podéis imaginar, me refiero al problema número 1 de Galicia 2018, de Física:
http://www.fiquipedia.es/home/recursos/ ... edirects=0En realidad, para escudriñar los fenómenos que observamos a nuestro alrededor siempre acabamos analizando lo mismo, el transporte de las tres propiedades extensivas por antonomasia. En efecto, nos pasamos media vida aplicando las leyes de conservación de la materia, de la cantidad de movimiento y de la energía.
Para resolver este problema vamos a necesitar las dos últimas. Si llamamos M y M' a las masas de la pelota pequeña (con radio r = 5 cm) y al balón grande (con radio R = 20 cm) respectivamente; del enunciado se cumplirá que M' = 10·M
y que R = 4·r
El par de pelotas caen libremente juntas desde una altura s = 1m, la pequeña encima de la grande. Para calcular la velocidad, Vo, con la que llegan al suelo basta echar mano de las ecuaciones de un MRUA (asumiremos g=9,80 m/s², con tres cifras significativas)
Vo = √(2·g·s) = √(2·9,80·1) = 4,427188724 m/s
Vo = 4,43 m/sAsumiendo colisión frontal unidimensional con el eje X vertical, positivo hacia arriba, si la grande choca elásticamente con el suelo, su velocidad cambia de -Vo a +Vo para inmediatamente colisionar con la pequeña situada encima y con velocidad -Vo.
Después del choque entre pelotas, la pequeña (M) subirá con velocidad +v , y la grande (M') con +V (no sé por qué he puesto en minúscula la velocidad de salida, v, de la pelota pequeña ya que como veremos va a ser bastante mayor que la del balón, V).
Planteamos balance de momentum entre los instantes justos anterior y posterior al choque:
M'·Vo – M·Vo = M'·V + M·v
que se puede escribir como la siguiente ecuación [1]:
M'·(Vo-V) = M·(v+Vo)
Sustituyendo M' por 10·M
10·M·(Vo-V) = M·(v+Vo)
Cancelamos M y queda la que llamaremos ecuación [2]:
10·V + v = 9·Vo = 9·√(2·g·s)
Tenemos dos incógnitas: V y v, por lo que necesitamos una ecuación más que deduciremos del balance de energías (puesto que el choque es elástico, entre el momento anterior y posterior al choque solo entran en juego las energías cinéticas):
½ ·M'·Vo² + ½ ·M·Vo² = ½ ·M'·V² + ½ ·M·v²
Cancelando el un medio se puede ordenar para que tome la forma que denominaremos ecuación [3]:
M'·(Vo² - V²) = M·(v² – Vo²)
Teniendo en cuenta que una diferencia de cuadrados es una suma por una diferencia,
M'·(Vo + V)·(Vo - V)= M·(v + Vo)·(v - Vo)
se puede dividir, miembro a miembro, la ecuación [3] entre la ecuación [1] y tachar, en el numerador y el denominador, el término M'·(Vo-V) en el primer miembro y el término M·(v+Vo) en el segundo miembro de la igualdad, para llegar a
Vo + V = v - Vo
que nos proporciona la ecuación [4]:
v = 2·Vo + V
Sustituyendo esta última expresión para v en la ecuación [2] resulta:
10·V + 2·Vo + V = 9·Vo
que nos permite calcular V y v:
V = 7·Vo / 11 = (7 / 11)·√(2·g·s) = (7 / 11)·√(2·9,80·1) = 2,817301915 m/s
V = 2,82 m/s
ec. [4]--->v = 2·Vo + 7·Vo /11=29·Vo/11=(29 / 11)·√(2·g·s)=(29 / 11)·√(2·9,80·1)= 11,67167936 m/s
v = 11,7 m/s
Como nos piden la altura que alcanza la pelota pequeña, volvemos a echar mano del MRUA:
v² = 2·g·X
donde X es la altura respecto a su posición inicial encima del balón en el instante justo después de colisionar con él.
X = v² / (2·g) = (29²/ 11²)·2·g·s / 2·g = 29² · s / 11² = 841·s / 121 =841·1 / 121 = 6,950413223 m
La altura que alcanza el centro de la pelota pequeña respecto al suelo será:
H = r + 2·R + X = r + 2·(4·r) + X = r + 8·r + X = 9·r + X = 9·0,05 + 6,950413223 = 7,400413223 m
H = 7,40 m ¡Uf!, me están entrando unos calores, tranquilidad que nos queda acabar la botella de Ribeiro...
Para calcular la energía disipada cuando la pelotilla solo llega a 2 metros menos de altura hay que tener muy en cuenta dos detalles que aparecen en el enunciado: “Se desprecia el rozamiento y se considera que el balón choca (elástico) con el suelo...”, los cuales nos permiten calcular las nuevas velocidades:
- De salida de la pelotilla, v', con la ecuación MRUA de siempre:
v' = √(2·g·h) ; pero ahora h=x-2= 6,950413223-2 = 4,950413223 m
v' = √(2·9,80·4,950413223) = 9,850284218 m/s
- De salida del balón, V', con la conservación de la cantidad de movimiento, ecuación [2] (no con la ecuación [4] que incluye una conservación de la energía, que ahora no se da, pues no tiene en cuenta el término de disipación que denotaremos más adelante con Q):
V' = (9·Vo – v') / 10 = (9·4,427188724 – 9,850284218)/10 = 2,99944143 m/s
Ahora estamos en condiciones de aplicar de nuevo la conservación energética en la colisión, pero teniendo en cuenta que el balón, según el enunciado, choca con el suelo elásticamente por lo que su velocidad antes del choque con la pelotita sigue siendo Vo, aunque, en este caso, dicho choque con la pelotilla ya no es elástico, es inelástico con disipación de energía Q:
½ ·M'·Vo² + ½ ·M·Vo² = ½ ·M'·(V')² + ½ ·M·(v')² + Q
½ ·10·M·Vo² + ½ ·M·Vo² = ½ ·10·M·(V')² + ½ ·M·(v')² + Q
Q = (M / 2)·[11·Vo² - 10·(V')² - (v')²] =(M / 2)·(11·4,427188724² – 10·2,99944143² - 9,850284218²) = 14,30270595·M
Q = 14,3·M
Q en julios (J) con M en kilogramos (kg).Me ha gustado mucho el ejercicio porque en él se basa un experimento discrepante que utilizo asiduamente con los alumnos, aunque esto es tema para tratar en otro hilo:
viewtopic.php?f=92&t=6235&p=30084#p30084Pues punto y final, como siempre agradezco revisión por vuestra parte.
¡Ata máis ver!
