Ibiza 2019 gravitación

gaizka
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Ibiza 2019 gravitación

Mensaje sin leer por gaizka » 11 Nov 2020, 09:11

Buenas!
Estoy intentando hacer el problema 4b de Ibiza sobre gravitación y no consigo dar con la solución
Planteo que el peso debe ser el mismo a la altura Rt+h y Rt-h pero al final me queda una solución de 4Rth=0 con lo que no tiene mucho sentido. Alguien que lo haya resuelto o planteado de alguna forma?

sleepylavoisier
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Re: Ibiza 2019 gravitación

Mensaje sin leer por sleepylavoisier » 11 Nov 2020, 20:45

Hola, gaizka.

En relación con el apartado b) del ejercicio 4 de la opción B del examen de Ibiza de 2019:
https://drive.google.com/open?id=1zqQqg ... X1-GK0XcpQ

Apliquemos el teorema de Gauss para obtener la intensidad del campo gravitatorio, g, en el interior de nuestra Tierra homogénea:

g(interior)·4π·r² = 4π·G·m
donde m es la masa de Tierra encerrada por la superficie gaussiana esférica de radio r ≤ Ro

Entonces g(interior) = G·m/r²

Si asumimos una Tierra homogénea, ρ = masa/volumen = constante:

ρ = Mo / (4π·Ro³/3) = m / (4π·r³/3)
siendo Mo la masa de la Tierra y Ro su radio.

Entonces m = Mo·r³/Ro³ que sustituida en la ecuación de g(interior) da:
g(interior) = G·Mo·r³/(r²·Ro³) = G·Mo·r/Ro³

Por otro lado, en un punto del exterior del planeta, a una altura h sobre la superficie terrestre, g sigue la ley de gravitación universal, variando con el inverso del cuadrado de la distancia al centro terrestre:
g(exterior) = G·Mo/(Ro+h)²

Si queremos que el peso sea el mismo en el interior que en exterior, g ha de ser igual:
g(interior) = g(exterior) ⇒ G·Mo·r/Ro³ = G·Mo/(Ro+h)²

Cancelando G·Mo y despejando r:
r = Ro³/(Ro+h)²

La profundidad p, desde la superficie, será entonces:
p = Ro ─ r = Ro ─ Ro³/(Ro+h)² = Ro · [1 ─ Ro²/(Ro+h)²] = Ro · {1 ─ [Ro/(Ro+h)]²}

p = Ro · [1 ─ 1/(1 + h/Ro)²]

Un desarrollo en serie de potencias nos permite utilizar la siguiente aproximación:
(1 + x)^n ≈ 1 + n·x cuando x <<< 1.

A baja altura sobre la superficie terrestre, tenemos que h <<< Ro, es decir,
h/Ro <<< 1 ⇒ (1 + h/Ro)¯² ≈ 1 + (─2)·h/Ro = 1 ─ 2·h/Ro

Es decir, p = Ro · [1 ─ (1 + h/Ro)¯²] ≈ Ro · [1 ─ (1 ─ 2·h/Ro)] = Ro · (1 ─ 1 + 2·h/Ro) = Ro·2·h/Ro = 2·h

Luego a baja altura, h <<< Ro, es curioso darse cuenta que el resultado de este problema sería una profundidad aproximadamente igual al doble de la altura:
p ≈ 2·h

Saludos.

gaizka
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Re: Ibiza 2019 gravitación

Mensaje sin leer por gaizka » 12 Nov 2020, 10:48

Que bien explicado sleepylavoisier! Muchas gracias por tu ayuda!! : ) Siempre sumando!

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