Sistemas de partículas y muelles

Opositor95
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Sistemas de partículas y muelles

Mensaje sin leer por Opositor95 » 01 Nov 2020, 10:49

Buenos días.
Espero que estéis bien, hoy estaba dándole vueltas a un problema y es que no consigo verlo :oops: :oops: :oops: :oops:
El problema en cuestión es este
Imagen
Y la duda que se me plantea es que hago el diagrama de fuerzas para sacar la lectura de la balanza que viene determinada por la normal y yo obtengo N+Fe= Mp*g + Mb*g pues resulta que no, que no puede ser así que es N=Mp*g +Fe y no le veo sentido alguno.
¿Alguien podría iluminarme?
Mil gracias.

sleepylavoisier
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Re: Sistemas de partículas y muelles

Mensaje sin leer por sleepylavoisier » 02 Nov 2020, 10:58

Buenas días, Opositor95.

Imaginemos que la bola descansa en reposo sobre el muelle en la posición de equilibrio, muelle que se habrá comprimido una cierta cantidad, y, respecto de su longitud natural.

Si hacemos un balance de fuerzas en la bola, la fuerza elástica: Fe=k·y hacia arriba será igual al peso, mb·g, hacia abajo, porque la bola no se mueve. Es decir, Fe=k·y=mb·g

En esta situación, hacemos otro balance de fuerzas, pero ahora a la plataforma de la balanza, mp, que tampoco se movería, con la normal N hacia arriba (que es la que registra la balanza) y el peso de la plataforma y la fuerza elástica que ejerce el muelle sobre la plataforma hacia abajo, así que

N = mp·g + Fe = mp·g + k·y

Como hemos visto en el anterior balance de fuerzas, Fe=k·y=mb·g, sustituyendo:

N = mp·g + Fe = mp·g + k·y = mp·g + mb·g = (mp + mb)·g
Por lo tanto, la balanza, en este caso particular, registraría el peso de la bola más el de la plataforma lo cual es lógico con todo el sentido del mundo.

Pero cuidado, para llegar a este resultado completamente lógico, en el que la balanza registra el peso de lo que tiene encima, he tenido que utilizar este balance de fuerzas: N = mp·g + Fe al que no le ves sentido alguno. Si hubiésemos utilizado el balance al que sí le ves sentido, hubiéramos llegado a:
" N + Fe = mp·g + mb·g " ⇒ " N = mp·g + mb·g ─ Fe = mp·g + mb·g ─ k·y "
Es decir, en el caso particular que estamos analizando, " N = mp·g + mb·g ─ mb·g = mp·g ", entonces la balanza, con tu análisis, sólo registraría la masa de la plataforma, ¿y la bola qué?...

Si ahora empujo con el dedo la bola hacia abajo, saco al sistema del equilibrio, la balanza registrará una m>mp+mb
con una fuerza elástica Fe = k·y’ donde y’>y en el equilibrio, es decir Fe>mb·g.

Por lo tanto cuidado, la bola ejerce fuerza sobre la plataforma pero a través del muelle, es la fuerza elástica del muelle la que actúa sobre la plataforma hacia abajo (y sobre la bola hacia arriba, si vamos al caso).
Por lo tanto, la resolución, en mi opinión, sería la siguiente: la plataforma de la balanza de masa mp no se mueve, le hago un balance de fuerzas:
N = Fe + mp·g
La fuerza ejercida por la bola mediante el muelle deformado será, según Robert Hooke:
Fe = k·d
Por lo tanto: N = k·d + mp·g

a) Para d = mb·g/k ⇒ N = k · mb·g/k + mp·g = mb·g+mp·g
N = (mb + mp)·g ⇒ la lectura de la balanza será mb+mp
Que como vimos al principio de este post coincide con la posición de equilibrio de la bola sobre el muelle.

b) En este apartado hago un balance de energías teniendo en cuenta que el muelle se deforma “y” hasta que mb se para, en esa posición, de compresión máxima del muelle, situamos el origen cero de energías potenciales gravitatorias, la energía potencial gravitatoria de mb se almacena como energía potencial elástica en el resorte deformado:
mb·g·y = ½ · k·y²

Cancelando una y en cada miembro se llega a:
y = 2·mb·g/k ⇒ Fe = k·y = k·2·mb·g/k = 2·mb·g

Sustituyendo en el balance de fuerzas sobre la plataforma de la balanza, lo tenemos:
N = Fe + mp·g = 2·mb·g + mp·g
Es decir, N = (2·mb + mp)·g ⇒ la lectura de la balanza será 2·mb+mp

c) Este tipo de apartados me encantan, como d=0, Fe=0 (el muelle no está deformado, tiene su longitud natural), así que:
N = Fe + mp·g = 0 + mp·g⇒ N = mp·g ⇒ la lectura de la balanza será mp

Saludos.

Opositor95
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Re: Sistemas de partículas y muelles

Mensaje sin leer por Opositor95 » 02 Nov 2020, 17:13

sleepylavoisier escribió:
02 Nov 2020, 10:58
Buenas días, Opositor95.

Imaginemos que la bola descansa en reposo sobre el muelle en la posición de equilibrio, muelle que se habrá comprimido una cierta cantidad, y, respecto de su longitud natural.

Si hacemos un balance de fuerzas en la bola, la fuerza elástica: Fe=k·y hacia arriba será igual al peso, mb·g, hacia abajo, porque la bola no se mueve. Es decir, Fe=k·y=mb·g

En esta situación, hacemos otro balance de fuerzas, pero ahora a la plataforma de la balanza, mp, que tampoco se movería, con la normal N hacia arriba (que es la que registra la balanza) y el peso de la plataforma y la fuerza elástica que ejerce el muelle sobre la plataforma hacia abajo, así que

N = mp·g + Fe = mp·g + k·y

Como hemos visto en el anterior balance de fuerzas, Fe=k·y=mb·g, sustituyendo:

N = mp·g + Fe = mp·g + k·y = mp·g + mb·g = (mp + mb)·g
Por lo tanto, la balanza, en este caso particular, registraría el peso de la bola más el de la plataforma lo cual es lógico con todo el sentido del mundo.

Pero cuidado, para llegar a este resultado completamente lógico, en el que la balanza registra el peso de lo que tiene encima, he tenido que utilizar este balance de fuerzas: N = mp·g + Fe al que no le ves sentido alguno. Si hubiésemos utilizado el balance al que sí le ves sentido, hubiéramos llegado a:
" N + Fe = mp·g + mb·g " ⇒ " N = mp·g + mb·g ─ Fe = mp·g + mb·g ─ k·y "
Es decir, en el caso particular que estamos analizando, " N = mp·g + mb·g ─ mb·g = mp·g ", entonces la balanza, con tu análisis, sólo registraría la masa de la plataforma, ¿y la bola qué?...

Si ahora empujo con el dedo la bola hacia abajo, saco al sistema del equilibrio, la balanza registrará una m>mp+mb
con una fuerza elástica Fe = k·y’ donde y’>y en el equilibrio, es decir Fe>mb·g.

Por lo tanto cuidado, la bola ejerce fuerza sobre la plataforma pero a través del muelle, es la fuerza elástica del muelle la que actúa sobre la plataforma hacia abajo (y sobre la bola hacia arriba, si vamos al caso).
Por lo tanto, la resolución, en mi opinión, sería la siguiente: la plataforma de la balanza de masa mp no se mueve, le hago un balance de fuerzas:
N = Fe + mp·g
La fuerza ejercida por la bola mediante el muelle deformado será, según Robert Hooke:
Fe = k·d
Por lo tanto: N = k·d + mp·g

a) Para d = mb·g/k ⇒ N = k · mb·g/k + mp·g = mb·g+mp·g
N = (mb + mp)·g ⇒ la lectura de la balanza será mb+mp
Que como vimos al principio de este post coincide con la posición de equilibrio de la bola sobre el muelle.

b) En este apartado hago un balance de energías teniendo en cuenta que el muelle se deforma “y” hasta que mb se para, en esa posición, de compresión máxima del muelle, situamos el origen cero de energías potenciales gravitatorias, la energía potencial gravitatoria de mb se almacena como energía potencial elástica en el resorte deformado:
mb·g·y = ½ · k·y²

Cancelando una y en cada miembro se llega a:
y = 2·mb·g/k ⇒ Fe = k·y = k·2·mb·g/k = 2·mb·g

Sustituyendo en el balance de fuerzas sobre la plataforma de la balanza, lo tenemos:
N = Fe + mp·g = 2·mb·g + mp·g
Es decir, N = (2·mb + mp)·g ⇒ la lectura de la balanza será 2·mb+mp

c) Este tipo de apartados me encantan, como d=0, Fe=0 (el muelle no está deformado, tiene su longitud natural), así que:
N = Fe + mp·g = 0 + mp·g⇒ N = mp·g ⇒ la lectura de la balanza será mp

Saludos.
Muchísimas gracias, ¡Qué gran explicación, ya sí que lo entiendo!
Eres un ejemplo.

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