Ayuda problema Burbano

Esther Extremadura
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Ayuda problema Burbano

Mensaje sin leer por Esther Extremadura » 30 Sep 2019, 13:14

Buenos días,
Adjunto este problema del Burbano, pues al resolverlo, no entiendo de donde sale que la expresión diferencial de un arco de curva es la que pone. Si alguien me puede explicar o recomendar donde refrescar esas matemáticas lo agradezco.
Gracias!
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sleepylavoisier
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Re: Ayuda problema Burbano

Mensaje sin leer por sleepylavoisier » 30 Sep 2019, 16:07

Buenos tardes, Esther Extremadura.

Pienso que el Burbano tiene errata, se le olvidó acabar la expresión del arco con un diferencial de x: “dx”

Es decir, en la primera línea de la solución debería haber escrito:
ds = √(1 + y’²) · dx

No es difícil llegar a esta expresión.
Pintamos dos puntos, 1 y 2, en el plano XY y dibujamos un arco Δs entre ellos. El vector desplazamiento de 1 a 2, Δr = r2r1 , será la cuerda de este arco, en módulo, │Δr│; es decir, el segmento recto que une 1 y 2:

http://e-ducativa.catedu.es/44700165/au ... 09JCCM.jpg
https://www.fisicalab.com/sites/all/fil ... miento.png

Ahora vamos aproximando 1 y 2 entre sí, se comprueba que el arco, Δs, se aproxima cada vez más a la cuerda, │Δr

https://encrypted-tbn0.gstatic.com/imag ... L98-uBff3w

En el límite, cuando 1 y 2 están infinitamente próximos, ocurre que el módulo del desplazamiento y el arco se convierten en diferenciales
│Δr│→ │dr
Δs → ds

y además, en ese límite cuando 1 y 2 están infinitamente cerca, el arco y la cuerda se confunden de tal manera que son la misma cosa:
ds = │dr

Teniendo en mente lo dicho líneas arriba, tomamos el vector de posición:
r = x · i + y · j

Lo diferenciamos (los vectores unitarios i y j son constantes en módulo unidad, dirección y sentido):
dr = dx · i + dy · j

El cuadrado de su módulo, como vector que es, valdrá:
│dr│² = (dx)² + (dy)²

Como hemos dicho, en el límite el arco se confunde con la cuerda:
ds = │dr│ ⇒ (ds)² = │dr│²

Sustituyendo la penúltima ecuación:
(ds)² = │dr│² = (dx)² + (dy)²

Si dividimos la última ecuación entre (dx)² :
(ds)² / (dx)² = (dx)² / (dx)² + (dy)² / (dx)² = 1 + (dy/dx)²

Despejamos el elemento de arco, ds :
(ds)² = [1 + (dy/dx)²] · (dx)²

Tomando la raíz cuadrada en ambos miembros
ds = √[1 + (dy/dx)²] · dx

Teniendo en cuenta que la derivada, y’ = dy/dx, podemos finalmente escribir la expresión que nos interesa:
ds = √(1 + y’²) · dx

Saludos.

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