Problema optica

Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 29 Ene 2018, 21:00

A ver si podeis ayudarme con este problema
Una lente delgada biconvexa de radios iguales de indice 1,5 tiene en aire una distancia focal de 30cm.esta lenye de monta en un orificio practicado en la pared de un deposito lleno de agua de indice 4/3 de manera que una cara queda sumergida en agua y otra en aire. El deposito tiene una anchura de 1m.¿ a que distancia de la lente y el aire hay que colocar un objeto para que su imagen a traves de la lente y el agua se forme sobre la pared opuesta del deposito? Se que en algun momento debo emplear ecuacion del dioptrio esferico y usar la superposicion de lente y dioptrio pero ando perdida!! Gracias
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 01 Feb 2018, 12:40

Buenos días quimiquilla.

Partiendo de la ecuación fundamental del dioptrio esférico:

n’/X’ – n/X = (n’ – n)/R

https://www.fisicalab.com/apartado/diop ... contenidos

-Aplicándola a la primera superficie, dioptrio convexo:
Aire --> ( --> Vidrio ; con R1>0, queda:

n’ / X’ – n1 / X1 = (n’ – n1) / R1 ; donde:

n’ es el índice de refracción de la lente, en nuestro caso vidrio, n’=1,5 ;y n1 el del medio delante de la lente, en nuestro caso aire, n1=1

X’ será una distancia positiva en el interior de la lente y X1 será una distancia negativa en el aire delante de la lente (la que nos piden en el problema)

-Aplicándola a la segunda superficie, dioptrio cóncavo:
Vidrio --> ) --> Agua ; con R2<0, queda:

n2 / X2 – n’ / (X’ - e) = (n2 – n’) / R2 ; donde:

n2 es el índice del medio detrás de la lente, en nuestro caso agua, n2=4/3

(X’ - e) será una distancia negativa en el interior de la lente (ya que en la ecuación para la primera superficie: X’>0 y el espesor de la lente, e>X’, se considera positivo); y X2 será una distancia positiva en el agua detrás de la lente (en nuestro problema la anchura del depósito que es X2 = +1 m = +100 cm).

Teniendo en cuenta que la lente es delgada, e=0, sumamos en estas condiciones, miembro a miembro, las dos ecuaciones con lo que se cancela el término correspondiente al interior de la lente y queda:

n2 / X2 – n1 / X1 = (n’ – n1) / R1 + (n2 – n’) / R2

Si intercambiamos n’ por la letra n como índice de refracción del material de la lente tenemos la ecuación final que nos interesa:

n2 / X2 – n1 / X1 = (n – n1) / R1 + (n2 – n) / R2

¿Qué te parece?, sí, ya sé que te estás riendo de mí… y con razón porque no se puede tener tanta falta de rigor en una demostración, entre otras cosas, no puedo despreciar e frente a X’ en (X’ - e) pues X’ es más chico que e, pero bueno, a mí me sirve este razonamiento para acordarme rápidamente de esta última ecuación que es la que nos interesa en la resolución de problemas como el que nos ocupa, en el que tenemos a la lente entre dos medios extremos de diferente índice de refracción.
Para ortodoxia y rigor están los libros y documentos como éste:
http://www-optica.inaoep.mx/investigado ... rc2005.pdf
(es la ecuación 102)
Y si nos ponemos tiquismiquis hasta disponemos de las fórmulas para diseñar lentes gruesas con la óptica geométrica paraxial:
http://www.ub.edu/javaoptics/teoria/textguia_es.pdf
(Tabla 1.3, página 13)

Entonces, con esta última fórmula que he escrito, pienso que te resultará fácil la resolución, primero la aplicas al aire n1=n2=1, y sale la conocida ecuación del fabricante de lentes:
Potencia=1/f2= 1/X2 – 1/X1 = (n-1)•(1/R1 - 1/R2)
Con R1=-R2=R calculas el radio de la lente: R=2•(n-1)•f2 = 30 cm
Luego metes datos en n2/X2 – n1/X1 = (n – n1)/R1 + (n2 – n)/R2
Despejas X1 (a mí me da -112,5 cm) y listo.

¿Le damos una vuelta de rosca más colocando un espejo?
El segundo ejercicio 3, de la primera página: https://www.fing.edu.uy/if/cursos/intr_ ... p52008.pdf

Saludos.
sleepylavoisier
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 01 Feb 2018, 23:18

sleepylavoisier escribió:Buenos días quimiquilla.

Partiendo de la ecuación fundamental del dioptrio esférico:

n’/X’ – n/X = (n’ – n)/R

https://www.fisicalab.com/apartado/diop ... contenidos

-Aplicándola a la primera superficie, dioptrio convexo:
Aire --> ( --> Vidrio ; con R1>0, queda:

n’ / X’ – n1 / X1 = (n’ – n1) / R1 ; donde:

n’ es el índice de refracción de la lente, en nuestro caso vidrio, n’=1,5 ;y n1 el del medio delante de la lente, en nuestro caso aire, n1=1

X’ será una distancia positiva en el interior de la lente y X1 será una distancia negativa en el aire delante de la lente (la que nos piden en el problema)

-Aplicándola a la segunda superficie, dioptrio cóncavo:
Vidrio --> ) --> Agua ; con R2<0, queda:

n2 / X2 – n’ / (X’ - e) = (n2 – n’) / R2 ; donde:

n2 es el índice del medio detrás de la lente, en nuestro caso agua, n2=4/3

(X’ - e) será una distancia negativa en el interior de la lente (ya que en la ecuación para la primera superficie: X’>0 y el espesor de la lente, e>X’, se considera positivo); y X2 será una distancia positiva en el agua detrás de la lente (en nuestro problema la anchura del depósito que es X2 = +1 m = +100 cm).

Teniendo en cuenta que la lente es delgada, e=0, sumamos en estas condiciones, miembro a miembro, las dos ecuaciones con lo que se cancela el término correspondiente al interior de la lente y queda:

n2 / X2 – n1 / X1 = (n’ – n1) / R1 + (n2 – n’) / R2

Si intercambiamos n’ por la letra n como índice de refracción del material de la lente tenemos la ecuación final que nos interesa:

n2 / X2 – n1 / X1 = (n – n1) / R1 + (n2 – n) / R2

¿Qué te parece?, sí, ya sé que te estás riendo de mí… y con razón porque no se puede tener tanta falta de rigor en una demostración, entre otras cosas, no puedo despreciar e frente a X’ en (X’ - e) pues X’ es más chico que e, pero bueno, a mí me sirve este razonamiento para acordarme rápidamente de esta última ecuación que es la que nos interesa en la resolución de problemas como el que nos ocupa, en el que tenemos a la lente entre dos medios extremos de diferente índice de refracción.
Para ortodoxia y rigor están los libros y documentos como éste:
http://www-optica.inaoep.mx/investigado ... rc2005.pdf
(es la ecuación 102)
Y si nos ponemos tiquismiquis hasta disponemos de las fórmulas para diseñar lentes gruesas con la óptica geométrica paraxial:
http://www.ub.edu/javaoptics/teoria/textguia_es.pdf
(Tabla 1.3, página 13)

Entonces, con esta última fórmula que he escrito, pienso que te resultará fácil la resolución, primero la aplicas al aire n1=n2=1, y sale la conocida ecuación del fabricante de lentes:
Potencia=1/f2= 1/X2 – 1/X1 = (n-1)•(1/R1 - 1/R2)
Con R1=-R2=R calculas el radio de la lente: R=2•(n-1)•f2 = 30 cm
Luego metes datos en n2/X2 – n1/X1 = (n – n1)/R1 + (n2 – n)/R2
Despejas X1 (a mí me da -112,5 cm) y listo.

¿Le damos una vuelta de rosca más colocando un espejo?
El segundo ejercicio 3, de la primera página: https://www.fing.edu.uy/if/cursos/intr_ ... p52008.pdf

Saludos.

Perfectisimamemte explicado y comprendido!! Los problemas como este cuestan muchisimo.
Mil gracias sleepy
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 01 Feb 2018, 23:20

Mañana comparto el resultado del problema lente con espejo!! Creo que se como poder resolverlo!!! Jeje gracias
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 02 Feb 2018, 20:46

Problema mirado, pero me he bloqueado al tratar el espejo, comento que fui haciendo 1calcule el radio lente y me da 30 cm, despues la imagen del objeto al tener la lente y me da 118,78 cm por tanto sale detras del espejo a 41,21 cm y es aqui donde me lio porque pienso que debo emplear ecuacion diptrio plano voy acertada en resolucion?? Gracias
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 02 Feb 2018, 21:08

Pista: entonces mira a ver dónde está el foco en el agua y prolonga rayos hasta llegar al espejo plano,
http://www.ub.edu/javaoptics/teoria/textguia_es.pdf
(ecuación 1.10)
sleepylavoisier
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 04 Feb 2018, 15:17

sleepylavoisier escribió:Pista: entonces mira a ver dónde está el foco en el agua y prolonga rayos hasta llegar al espejo plano,
http://www.ub.edu/javaoptics/teoria/textguia_es.pdf
(ecuación 1.10)

Gracias sleepy!!!
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 06 Feb 2018, 20:47

Vuelvo a intervenir con otro problemon de optica jaja me tiene frita lo escribo y comento mis dudosos resultados jeje
Una lente convergente de 5D esta colocada horizontalmente a 50cm por encima del fondo plano y horizontal de un vaso vacio. Situado a 40 cm sobre la lente esta un objeto luminoso P echamos agua (n=1,33) en el vaso hasta que la imagen se forma en el fondo del vaso.¿que espesor de agua tenemos? Si cambiamod agua por otro liquido de indice 1,5 con mismo volumen¿donde hay que desplazar P para que la imagen continue en el fondo?
Mis resultados a) espesor de 5,7cm y b) acercar P 0,5cm a la lente ( es decir situarlo a 39,5cm)
Gracias
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor Basileia » 06 Feb 2018, 21:13

¿De dónde te sacas estos ejercicios? ¿Dónde han quedado los ejercicios "normales"?
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 06 Feb 2018, 21:52

Basileia escribió:¿De dónde te sacas estos ejercicios? ¿Dónde han quedado los ejercicios "normales"?

Es una coleccion de problemas de optica que me ha pasado una amiga!! Hay tmb ejercicios mas normales y asequibles pero estos de combinar dioptrios por todas partes jaja tienen lo suyo !!!
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 07 Feb 2018, 09:25

Creo que no coincido quimiquilla.
En el dioptrio plano, imagen y objeto se encuentran en el mismo lado del dioptrio:
https://www.fisicalab.com/apartado/diop ... contenidos
Te recomiendo que eches un ojo, en,
http://www.fisica.ru/2017/theory/22_opt ... mentos.php

, primero al 770, fijándonos en la fórmula: SS’=d•(1-1/n):
http://www.fisica.ru/2017/theory/44_opt ... os/770.htm
Y luego, cómo no, el 2 de Física Madrid 2015, lo tienes resuelto de un plumazo en la web de problemas que te he enlazado, es el 771:
http://www.fisica.ru/2017/theory/44_opt ... os/771.htm
(ojo que tienen una errata, donde pone H’=b-l , el resultado es 80 cm, no 180 cm como ponen).
Por supuesto, también lo tienes resuelto con exquisito detalle en la FiQuiPedia:
http://www.fiquipedia.es/home/recursos/ ... edirects=0
Si estudias bien los dos problemas que te he recomendado, pienso que el tuyo va a ser coser y cantar.
Saludos
sleepylavoisier
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 07 Feb 2018, 19:56

sleepylavoisier escribió:Creo que no coincido quimiquilla.
En el dioptrio plano, imagen y objeto se encuentran en el mismo lado del dioptrio:
https://www.fisicalab.com/apartado/diop ... contenidos
Te recomiendo que eches un ojo, en,
http://www.fisica.ru/2017/theory/22_opt ... mentos.php

, primero al 770, fijándonos en la fórmula: SS’=d•(1-1/n):
http://www.fisica.ru/2017/theory/44_opt ... os/770.htm
Y luego, cómo no, el 2 de Física Madrid 2015, lo tienes resuelto de un plumazo en la web de problemas que te he enlazado, es el 771:
http://www.fisica.ru/2017/theory/44_opt ... os/771.htm
(ojo que tienen una errata, donde pone H’=b-l , el resultado es 80 cm, no 180 cm como ponen).
Por supuesto, también lo tienes resuelto con exquisito detalle en la FiQuiPedia:
http://www.fiquipedia.es/home/recursos/ ... edirects=0
Si estudias bien los dos problemas que te he recomendado, pienso que el tuyo va a ser coser y cantar.
Saludos

Muchas gracias sleepy, el. 770 me sale pero no lo planteo como en el web, me resulta muy lioso hacerlo con segmentos.
Volvi a darle una vuelta al problema ahora me sale un espesor de 7,5 cm.
Un saludo
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 08 Feb 2018, 13:42

No sé quimiquilla..., sigo sin coincidir.
Sin agua en el vaso, creo que la imagen se forma a 40 cm de la lente.
Al rellenar con agua por encima de esa posición, los rayos se refractan y se cortan para formar la imagen en el fondo del vaso, es decir, la imagen se desplaza según la fórmula que te comenté:
SS’=d•(1-1/n) donde d y n son el espesor y el índice del agua, respectivamente.
También se puede hacer con la ecuación del dioptrio plano: n/s = n’/s’
Sin agua, n del aire = 1 y la distancia s sería la de la imagen, sin agua, al nivel que habría con agua; mientras que s’ sería la distancia de la imagen desplazada (por refracción de los rayos) en el fondo, al nivel de agua en el vaso, es decir, el espesor de agua d; y n’ sería el índice de refracción del agua.
Saludos.
sleepylavoisier
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 10 Feb 2018, 11:40

sleepylavoisier escribió:No sé quimiquilla..., sigo sin coincidir.
Sin agua en el vaso, creo que la imagen se forma a 40 cm de la lente.
Al rellenar con agua por encima de esa posición, los rayos se refractan y se cortan para formar la imagen en el fondo del vaso, es decir, la imagen se desplaza según la fórmula que te comenté:
SS’=d•(1-1/n) donde d y n son el espesor y el índice del agua, respectivamente.
También se puede hacer con la ecuación del dioptrio plano: n/s = n’/s’
Sin agua, n del aire = 1 y la distancia s sería la de la imagen, sin agua, al nivel que habría con agua; mientras que s’ sería la distancia de la imagen desplazada (por refracción de los rayos) en el fondo, al nivel de agua en el vaso, es decir, el espesor de agua d; y n’ sería el índice de refracción del agua.
Saludos.

Gracias sleepy , ando algo espesa esta semana, no he podido darle otra vuelta, la imagen de la lente si me sale a 40cm de la lente, y a partir de ahi me lia que la imagen se forme en el fondo del vaso, yo he planteado un diotrio plano teniendo en cuenta una transicion aire agua, la imagen anterior se forma a 10 cm del fondo del vaso ( posicion del nuevo objeto) y la imagen a una distancia d del fondo ( que es el espesor) en la superficie del agua , y haciendo calculos creo que me daba 7,5 . el error creo que lo cometo en la posicion del objeto ) segun tu planteamiento seria una distancia x = 10_d?? ( la posicion del objeto para el dioptrio) gracias
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 10 Feb 2018, 15:21

Hola quimiquilla.
Date cuenta que si el espesor de agua te sale 7,5 cm, y la imagen de la lente se forma en el aire a 10 cm del fondo del vaso, tendríamos el "objeto" fuera del agua y la imagen dentro del agua en el fondo del vaso, y como te comenté, para dioptrio plano:
sleepylavoisier escribió:Creo que no coincido quimiquilla.
En el dioptrio plano, imagen y objeto se encuentran en el mismo lado del dioptrio:
https://www.fisicalab.com/apartado/diop ... contenidos

Es decir, la imagen generada por la lente en ausencia de agua debe ocupar una posición tal que al rellenar con agua se encontraría dicha posición en el seno de la capa de agua, pero entonces los rayos procedentes de la lente, al refractarse en la superficie del líquido convergen y se cortan más adelante, desplazándose la nueva imagen al fondo del vaso en presencia de agua, siendo el desplazamiento: SS’=d•(1-1/n) donde d y n es el espesor y el índice del agua. Esta fórmula está deducida en el problema 770 que te comenté:
http://www.fisica.ru/2017/theory/22_opt ... mentos.php
Entonces SS’ = 10 cm y d = 10 / (1-1/1,33) = 40,3 cm de capa de agua (si tomas n agua = 4/3 salen 40 cm justitos y cabales)
Es un problema completamente similar al 2 de Madrid de 2015, que sufrí en mis carnes en vivo y en directo y que me ha dejado marcado para toda la vida…,el 771 de la web que te recomendé, en el dibujo: A’’B’’ es la imagen en ausencia de agua y A’’’B’’’ es la imagen desplazada d•(1-1/n) por la presencia de la capa de agua que refracta los rayos, procedentes de la lente y reflejados por el espejo, y que hace que se corten más adelante.
También se puede hacer como te dije con la ecuación de dioptrio plano, teniendo en cuenta las posiciones con respecto a la superficie libre de separación del líquido:
s: distancia de la imagen generada por la lente en ausencia de agua al nivel del líquido cuando rellenamos con agua.
Si llamamos H=50 cm que está el fondo del vaso de la lente; b = 40 cm de la lente que se forma la primera imagen en ausencia de agua, en el aire, y d al espesor de agua, se cumple d-s=H-b, es decir, s=d+b-H

s’= d: distancia de la imagen generada (en el fondo del vaso) por la lente en presencia de agua, al nivel del líquido; es decir el espesor d de capa de agua.

n=1 (índice del aire) y n’=4/3(índice del agua)

Entonces, dioptrio plano:
n/s=n’/s’
1/(d+b-H) = n/d
Despejando el espesor de agua: d = (H-b)/(1-1/n)
Y si sustituyes datos, con n agua = 4/3, te dará nuevamente dos vasos de cubata…(d=40 cm).
La segunda pregunta de tu problema es trivial si entendemos esto.
Saludos y ánimo compañera.
sleepylavoisier
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 12 Feb 2018, 08:43

sleepylavoisier escribió:Hola quimiquilla.
Date cuenta que si el espesor de agua te sale 7,5 cm, y la imagen de la lente se forma en el aire a 10 cm del fondo del vaso, tendríamos el "objeto" fuera del agua y la imagen dentro del agua en el fondo del vaso, y como te comenté, para dioptrio plano:
sleepylavoisier escribió:Creo que no coincido quimiquilla.
En el dioptrio plano, imagen y objeto se encuentran en el mismo lado del dioptrio:
https://www.fisicalab.com/apartado/diop ... contenidos

Es decir, la imagen generada por la lente en ausencia de agua debe ocupar una posición tal que al rellenar con agua se encontraría dicha posición en el seno de la capa de agua, pero entonces los rayos procedentes de la lente, al refractarse en la superficie del líquido convergen y se cortan más adelante, desplazándose la nueva imagen al fondo del vaso en presencia de agua, siendo el desplazamiento: SS’=d•(1-1/n) donde d y n es el espesor y el índice del agua. Esta fórmula está deducida en el problema 770 que te comenté:
http://www.fisica.ru/2017/theory/22_opt ... mentos.php
Entonces SS’ = 10 cm y d = 10 / (1-1/1,33) = 40,3 cm de capa de agua (si tomas n agua = 4/3 salen 40 cm justitos y cabales)
Es un problema completamente similar al 2 de Madrid de 2015, que sufrí en mis carnes en vivo y en directo y que me ha dejado marcado para toda la vida…,el 771 de la web que te recomendé, en el dibujo: A’’B’’ es la imagen en ausencia de agua y A’’’B’’’ es la imagen desplazada d•(1-1/n) por la presencia de la capa de agua que refracta los rayos, procedentes de la lente y reflejados por el espejo, y que hace que se corten más adelante.
También se puede hacer como te dije con la ecuación de dioptrio plano, teniendo en cuenta las posiciones con respecto a la superficie libre de separación del líquido:
s: distancia de la imagen generada por la lente en ausencia de agua al nivel del líquido cuando rellenamos con agua.
Si llamamos H=50 cm que está el fondo del vaso de la lente; b = 40 cm de la lente que se forma la primera imagen en ausencia de agua, en el aire, y d al espesor de agua, se cumple d-s=H-b, es decir, s=d+b-H

s’= d: distancia de la imagen generada (en el fondo del vaso) por la lente en presencia de agua, al nivel del líquido; es decir el espesor d de capa de agua.

n=1 (índice del aire) y n’=4/3(índice del agua)

Entonces, dioptrio plano:
n/s=n’/s’
1/(d+b-H) = n/d
Despejando el espesor de agua: d = (H-b)/(1-1/n)
Y si sustituyes datos, con n aire = 4/3, te dará nuevamente dos vasos de cubata…(d=40 cm).
La segunda pregunta de tu problema es trivial si entendemos esto.
Saludos y ánimo compañera.

Muchas muchas gracias sleepy, lo consegui resolver mi ppal problema era que desde el principio queria pensar que el espesor de agua debia ser menor que la distancia a la que se formaba la primera imagen del fondo. Nota mental: no suponer nada , ya me puse a hacer problemas de optica de valencia 2006 y el de madrid del 2000, pan comido entendiendo esto!!!
Un abrazo
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 18 Feb 2018, 23:00

quimiquilla escribió:... ya me puse a hacer problemas de optica de valencia 2006 y el de madrid del 2000, pan comido entendiendo esto!!!
Un abrazo

Me alegro quimiquilla.
El de Madrid 2000 bien…, pero ojito con el de Valencia de 2006, que yo creo que lo que quieren es que nos coma el tigre.
El aumento lateral final es el producto de los aumentos:
http://www.ub.edu/javaoptics/teoria/textguia_es.pdf
(página 10, ecuación 1.7)
Está resuelto aquí:
http://www.fisicaenppt.esy.es/Problemas ... 9trica.pdf
(problema 35)
Un saludo.
sleepylavoisier
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor quimiquilla » 18 Feb 2018, 23:48

sleepylavoisier escribió:
quimiquilla escribió:... ya me puse a hacer problemas de optica de valencia 2006 y el de madrid del 2000, pan comido entendiendo esto!!!
Un abrazo

Me alegro quimiquilla.
El de Madrid 2000 bien…, pero ojito con el de Valencia de 2006, que yo creo que lo que quieren es que nos coma el tigre.
El aumento lateral final es el producto de los aumentos:
http://www.ub.edu/javaoptics/teoria/textguia_es.pdf
(página 10, ecuación 1.7)
Está resuelto aquí:
http://www.fisicaenppt.esy.es/Problemas ... 9trica.pdf
(problema 35)
Un saludo.

Muchisimas gracias sleepy!! Esperemos que no nos coma el tigre jeje
quimiquilla
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor FiQuiPedia » 27 Feb 2018, 00:45

Subida actualizada resolución Valencia 2006 6 de óptica, con los comentarios recibidos (gracias!)
http://www.fiquipedia.es/home/recursos/ ... edirects=0
Me había comido el tigre, lo tenía hecho por superposición pero mal: hay que superponer un dioptrio esférico + lente, y yo había hecho dioptrio plano + lente.
Hecho también como dos dioptrios coincide la solución
FiQuiPedia
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 27 Feb 2018, 14:05

Muchas gracias FiQuiPedia, a mí también me comió vivo el tigre en su momento...
Ha quedado de lujo tu problema.
Saludos.
P.D.: por cierto, ahora que están de moda los himnos, yo creo que el de nuestro foro, oficialmente, debería ser ese:
https://www.youtube.com/watch?v=gBD3IdI1RmI
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Re: Problema optica

Mensaje sin leerpor fisiramix » 01 Mar 2018, 17:24

Muchas gracias por compartir estos problemas tan de pensar. A mi también me sale 40,3 cm
fisiramix
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