Propuesta de resolución Problema 2 (Madrid 2018)

[Antonio de la Nuez]

¿Qué tal os salió el problema del cilindro en las últimas opos en Madrid? ¿Tuvisteis en cuenta el radio r del cilindro?
Os dejo la resolución del problema a propuesta de nuestro profe de Problemas de Física... a ver qué os parece.

https://www.monograficosoposiciones.es/ ... drid-2018/

Antonio de la Nuez
www.monograficosoposiciones.es

[koler]

Aquí os dejo otra versión.

[sleepylavoisier]

Muchas gracias, compañeros, por vuestros excelentes documentos para liquidar este ejercicio 2 de Madrid 2018; si me tengo que quedar con una de las dos variantes elegiría la de koler (que ya leí en http://www.docentesconeducacion.es/view ... 200#p29908 ), pero para gustos los colores y ambas variantes están muy bien. En la de Antonio de la Nuez me gusta su integral triple para calcular en cilíndricas el momento de inercia. Algo que no se suele escribir en los prácticos, pero puede recordarse fácilmente y se perdería poco tiempo especificándolo en un examen real.
Quiero comentar dos cosas, que son intrascendentes y no afectan a vuestros resultados:
1º) El tiempo en un práctico vale oro. Yo adelantaría, en la resolución, el apartado d) saltándome el apartado c), porque calculada la normal, N, en Q (apartado d), la altura mínima del apartado c) se obtiene de manera inmediata y trivial sin más que hacer N=0, ahorrándonos cualquier cálculo matemático en c).
2º) Os comento alguna pequeña errata insustancial por si queréis corregirla:
-En el documento de Antonio de la Nuez, en la integral triple hay un límite de integración que está escrito como 2r, luego, en el resultado aparece dos veces como 2σ, cuando realmente habría que escribir en cada uno de los tres casos: 2π.
-En el documento de koler, en el segundo dibujo que hace, pone una cota: “h+r”, como distancia del eje del cilindro al suelo, pero mirando su dibujo, esa cota sería mayor que h+r. Para que estuviera correcto, el dibujo debería coincidir exactamente con el que pusieron en el enunciado real.
Por último, ya que estoy en faena, voy a aportar, en plan chapuzas, como siempre…, dos variantes más en las que no necesito apelar al principio de conservación de la energía: una newtoniana y otra lagrangiana. La segunda es elegante pero no aconsejo llevarla a cabo en un examen real, pues puede resultar larga (la empecé un día, y hasta el tercer día no resucitó…) y además el corrector de nuestro ejercicio podría no entenderla; aunque con práctica se puede hacer en media hora y meterla en un folio (en vez de en tres). Sí sería aconsejable seguirla paso a paso si uno quiere practicar mucho el cálculo diferencial y la geometría que nos encontramos en este tipo de problemas.
La newtoniana es más rápida pero de todas formas me parece mejor utilizar en un examen real vuestras propuestas con la conservación de la energía.
Os las adjunto y agradezco revisión.
¡Ánimo compañeros!

NL.jpg (44.11 KiB) Visto 3334 veces

[koler]

Hola sleepy,

-En el documento de koler, en el segundo dibujo que hace, pone una cota: “h+r”, como distancia del eje del cilindro al suelo, pero mirando su dibujo, esa cota sería mayor que h+r. Para que estuviera correcto, el dibujo debería coincidir exactamente con el que pusieron en el enunciado real.

Pues, creo que te refieres a que la altura del eje es "h + r·cosθ", siendo θ el ángulo del tramo inclinado con la horizontal, según mi dibujo. Es verdad, corrijo el dibujo según el enunciado original, donde se ve claramente que la altura del eje es "h + r".

Os las adjunto y agradezco revisión.

Difícil ojear tus notas porque no se ven muy bien. A ver si puedes arreglarlo.

[sleepylavoisier]

Buenos días koler,
Sí, a eso me refería.

Subo un nuevo y único pdf con mis dos resoluciones conjuntas (primero la lagrangiana y luego la newtoniana) y así arreglo el problema de la nitidez.

Comento alguna cosa más:

-En la resolución con Mecánica Analítica, encuentro las ecuaciones del movimiento del cilindro, tanto en el plano inclinado como en el anillo y a partir de ellas calculo a) y b). Luego calculo d) hallando la fuerza generalizada de ligadura, Qρ, para la componente radial, ρ. Obtengo el mismo resultado que vosotros, pero con signo cambiado, porque yo calculo una componente y vosotros el módulo de la normal.
Realmente, en mis notas, con afán de abreviar, no hago un análisis completo y riguroso del asunto. Un sólido rígido, como nuestro cilindro, posee seis grados de libertad, si no hay ligaduras. Y, tanto en el plano inclinado como en el anillo, se pueden definir 5 ligaduras holónomas esclerónomas en cada caso: 6-5=1 grado de libertad del cilindro y podemos describir nuestro sistema holónomo con una única coordenada generalizada, y eso es lo que hago.
Por ejemplo, en el anillo, además de f1 y f2, definidas en mi documento, habría otras tres ligaduras más:
•Una que restringe el movimiento del cilindro al plano XY: f3 = Zcm = 0
•Otras dos que impiden la rotación en torno a los ejes X e Y:
f4 = α = 0
f5 = β = 0
Pero, obviamente, sus derivadas parciales respecto a ρ se anulan:
Qρ = λ1 • ∂f1/∂ρ + λ2 • ∂f2/∂ρ + λ3 • ∂f3/∂ρ + λ4• ∂f4/∂ρ + λ5• ∂f5/∂ρ = λ1 • 0 + λ2 • 1 + λ3 • 0 + λ4• 0 + λ5• 0 = λ2 que, al fin y al cabo, es el resultado que obtengo en mis notas.

-En la resolución con Mecánica Newtoniana, lo único que hago es integrar la ecuación fundamental de la dinámica en el plano inclinado y en el anillo bajo el supuesto de que rueda sin deslizar.

Eso sí, en ambas resoluciones adelanto el apartado d), por las razones que expuse líneas arriba.

Un saludo