Ecuacion radicalica

Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor Invitado » 24 Ago 2017, 12:02

Buenos dias,

Estoy ayudando a un niño con mates de 1o bachillerato y me ha surgido un problemilla con la siguiente ecuacion radicalica:

Raiz cuadrada (36+x) = x + (raiz cuadrada (x))

Me da una ecuacion de cuarto grado que no se resolver
Invitado
 

Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor Invitado » 24 Ago 2017, 12:07

Perdon, no habia acabado el mensaje anterior.

El caso es que sé como se resuelven pero ésta, al darme una ecuacion de cuarto grado, no se como hallar las soluciones. Sin embargo, deberia dar una ecuacion de segundo grado. El problema es la x. Si en vez de la x que no tiene raiz hubiera un numero, sabria resolverla.

A ver si algun alma caritativa me puede ayudar. Gracias de antemano.
Invitado
 

Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor _Álvaro » 24 Ago 2017, 16:37

La ecuación, tal como está planteada, no tiene soluciones enteras, por lo que no se puede resolver mediante factorización, una vez desarrollados los convenientes cuadrados para eliminar los radicales.

Aquí se puede observar la solución, mediante wolfram alpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e ... qrt(36%2Bx)+%3D+x+%2B+Sqrt(x)%22&rawformassumption=%7B%22FVarOpt%22%7D+-%3E+%7B%7B%22SolveEquation%22,+%22solvevariable%22%7D%7D

Al no poder ser resulta mediante factorización, hay que meterle mano con metodología aproximada, por ejemplo, con el teorema de Bolzano, e ir acotando la solución mediante valores de la expresión:

Raiz(36 + x) -x - Raiz(x) = 0

O bien, aplicar Newton - Raphson, que sinceramente, aquí no merece la pena, es mucho más sencillo Bolzano.

Me parece que a alguien se le ha ido la mano con la ecuación, si es para un chaval de 1º de bachillerato, jejeje.
_Álvaro
 

Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor _Álvaro » 24 Ago 2017, 16:40

Ojo con el enlace, que sale cortado. Hay que resaltarlo entero y copiarlo en el navegado.

La solución de la ecuación es x = 4.27814, que como vemos, dista mucho de ser entera (jejeje) y posiblemente fuera del alcance de un alumno de 1º de bachillerato standar.

Otra cosa es que la ecuación no esté bien copiada, y pueda haber algún error, pero si es correcta, esto es lo que hay.
_Álvaro
 

Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 24 Ago 2017, 17:07

Eso me ha parecido a mí cuando me acabo de quedar con z^4+2z^3-36=0
Chungo, el todopoderoso Wolfram Alpha dibuja las funciones del primer y del segundo miembro de la ecuación y arroja como valor real el punto de corte de ambas curvas: aproximadamente x=4,2781, comentado por _Álvaro
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(36%2Bx)+%3D+x+%2B+sqrtx
Aunque siempre se puede echar mano de las fórmulas para una ecuación cuártica, que ya han aparecido en nuestro foro (sección Física y Química, por supuesto):
viewtopic.php?f=92&t=3812#p17535
http://www.josechu.com/ecuaciones_polin ... ion_es.htm
Pero un chaval de 1º de Bachillerato es mejor que no vea estas fórmulas. Si queremos engancharle con las mates es mejor que vea algo como esto:
https://www.youtube.com/watch?v=ShkAMt0Ye2o

– ¿Cuál es el mejor número? Por cierto sólo hay una respuesta correcta.
– ¿5388000?
-No, el mejor número es el 73, os estaréis preguntando por qué.
-Para nada
– 73 es el vigésimo primer (21) numero primo, leído al revés es el 37  que es el décimo segundo (12) que al revés es el 21 que es el resultado de multiplicar, agarraos fuerte, 7 por 3, eh eh ¿ os he mentido?
– Entendido. El 73 es el Chuck Norris de los números
– Más quisiera Chuck Norris, en binario 73 es un palíndromo, 1001001, al revés es 1001001, exactamente igual. Chuck Norris al revés no es más que Sirron Kcuchc.
-Para que lo sepáis: si marcas 053580 en una calculadora y la giras puedes leer obseso
-¿Comprendes ahora porque las chicas no querían cenar esta noche con nosotros? 
– Sí, ahora sí.


Saludos.

P.D.: ¿Por qué los de Física y Química podemos impartir mates ( y bio y geo y tecno, etc.) y los de mates no imparten más que mates y poco más?
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Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor Invitado » 24 Ago 2017, 19:47

Madre mia! anonadado me habeis dejado con las respuestas :o

Debe ser una errata del libro, pero está escrito en el libro como os lo he indicado y el tema es que yo lo tengo señalado como si lo hubiera hecho cuando hice 1º BUP (ahora 3º de la ESO, y el chico que está viendo este tipo de ecuaciones lo está viendo en 1ºBachillerato, el antiguo 3º BUP, vaya bajada de nivel!). Estuve buscando mi cuaderno de ejercicios, pero no lo encontré (ni siquiera sé si existe aún o lo llevé a reciclar).

En fin, muchisísimas gracias por vuestras respuestas, queda confirmado que no he perdido aptitudes matemáticas (soy de otra especialidad).
Invitado
 

Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor _Álvaro » 24 Ago 2017, 20:33

Quizá sea el típico problema que se ponía antes en los libros, donde la solución no era posible mediante factorización y se necesitaba "ir probando" para encontrar la solución más aproximada.

La aplicación del teorema de Bolzano es bastante simple, sólo hay que buscar valores en los que la expresión funcional cambie de signo. Es decir, que si sustituimos x = 0 en la expresión siguiente: Raiz(36 + x) -x - Raiz(x) = 0, vemos que obtenemos un valor positivo. Por el contrario, si sustituimos x = 5, se obtiene un valor negativo.

El teorema de Bolzano nos dice que, como la función es continua en todo R, obviamente, para poder cambiar de signo, tiene que pasar por el 0, sí o sí. Por lo cual, ya sabemos que la raíz que buscamos está entre 0 y 5.

Ahora no hay más que ir moviéndonos en el intervalo, cogiendo valores intermedios, e ir analizando el signo, hasta "enjaular" la solución con un nivel aceptable de precisión. Como esta expresión parece solo tener una solución, (¡¡gracias Wolfram Alpha!!) una vez encontrada, no hay que seguir buscando. Si no lo supiéramos, tendríamos que irnos al teorema de Rolle, para averiguar si habría o no más soluciones, y si las hubiera, pues también cazarlas.

Hace 25 años no se esperaba que un alumno conociera estos teoremas, de hecho se estudian en 2º de bachillerato (COU, vamos), pero sí que tuviera cierta picardía, por lo menos, para ir probando soluciones e irse acercando a la solución correcta. De hecho, creo que por esos tiempos alguna vez anduve yo buscando soluciones así, a prueba y error, yendo cercando poco a poco la solución.
Ahora, parece como si siempre se diera por hecho de que el alumno no conoce lo suficiente. Y es un error. Yo siempre les digo que saben más de lo que creen, que lo único que tienen que aprender es a no rendirse tan fácilmente y a darle un poco al coco.

Saludos.
_Álvaro
 

Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 24 Ago 2017, 22:33

Estoy con _Álvaro (muchas gracias), Bolzano para 1ºBachillerato, aunque me rechina este ejercicio en los tiempos que corren.
En fin, la Matemática es maravillosa, tanto que se puede replicar a Sheldon sin ningún problema y demostrarle, por reducción al absurdo, que el 73 no es un número natural especialmente interesante (aunque yo me he comprado su camiseta...):

Voy a probar ahora que todos los números naturales son números “interesantes”. Recuerdo que los números llamados “naturales” son los que usamos todos los días para contar: 1, 2, 3, 4, 5... Ahora bien, la primera pregunta que surge es: ¿qué quiere decir que un número sea interesante?
Bueno, vamos a decir que un número lo es cuando tiene algún atractivo, algo que lo distinga, algo que merezca destacarlo de los otros, que tenga algún borde o alguna particularidad. Creo que todos entendemos ahora lo que quiero decir con “interesante”.
Esta es la demostración.
El número uno es interesante porque es el primero de todos. Lo distingue entonces el hecho de ser el más chico de todos los números. El número dos es interesante por varias razones: es el primer número par, es el primer número primo. En fin, creo que con estos dos argumentos ya podemos distinguirlo.
El número tres también es interesante, porque es el primer número impar que es primo (por elegir una razón de las muchas que habría).
El número cuatro es interesante porque es una potencia de 2. El número cinco es interesante porque es un número primo. Y de aquí en adelante deberíamos ponernos de acuerdo en que cuando un número es primo, ya tiene una característica fuerte que lo distingue y lo podríamos considerar interesante sin buscar otros argumentos.
Sigamos un poco más.
El número seis es interesante porque es el primer número compuesto (o sea, no es un número primo) que no sea una potencia de dos. Recuerde que el primer número compuesto que apareció es el cuatro, pero es una potencia de dos. El número siete es interesante y no hace falta argumentar más porque es primo.
Y así podríamos seguir.
Lo que quiero probar con ustedes es que:
Dado un número natural (o sea, un entero positivo cualquiera) siempre... siempre... hay algo que lo transforma en “interesante” o “atractivo” o “distinguible”.
Lo que voy a hacer es suponer que no, que lo que afirmo no es cierto, y mostrar que eso nos lleva a una contradicción. Veamos.
Supongamos que no fuera cierto (que todos los números son interesantes).
Entonces eso quiere decir que hay números que llamaremos “no interesantes”.
Esos números los ponemos en una bolsa. Sabemos que esta bolsa no esta vacía, porque estamos suponiendo que hay números que no son “interesantes”. Es decir, tenemos una bolsa llena de números no interesantes. Vamos a ver que esto nos lleva a una contradicción.
Ahora bien: esa bolsa, como todos los números que contienen son números naturales, o sea, enteros positivos, tiene que tener un primer elemento. Es decir, un número que sea el menor de todos los que están en la bolsa. ¿Se entiende por qué? Piense que si a usted le dan una bolsa llena de números, no importa si son infinitos, si son todos positivos, tiene que haber alguno que sea el menor de todos.
Pero, entonces, ¡ésa es la razón que transforma en “interesante” al supuesto primer número no interesante! El hecho que lo distingue es que sería el primero de todos los números no interesantes. Y ésa es una razón más que suficiente para declararlo interesante. ¿No le parece?
Es decir: suponer que hay números no interesantes nos permitió conseguir una bolsa con todos ellos. Elegimos el menor, y ese número deja de ser “no interesante” para convertirse en “interesante”.
El error, entonces, provino de haber pensado que hay números no interesantes. Eso es lo que está mal.
Moraleja: “Todo número natural es interesante”.


Fuente: http://cms.dm.uba.ar/material/paenza/li ... tasAhi.pdf (dotor Adrián Paenza)
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Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor Invitado » 30 Ago 2017, 23:25

Debe de tratarse de una errata de mi libro (Matematicas Algoritmo 2, ediciones SM). Este ejercicio se lo puse yo al niño para que practicara, sin haberlo hecho yo primero, error! y claro tenia sorpresa :)

Ya que os veo tan puestos, voy a aprovechar a preguntaros otra cosilla, se trata de una ecuacion logaritmica: 3 - log250 = 2logX + (log(5 - X^2))

Una vez quito los logaritmos, me sale una ecuacion cuadratica, hago X^2=Y, queda una ecuacion de 2° grado con 4 soluciones: +-2 y +-1. El logaritmo de un n° negativo no existe, me quedo con los valores positivos, pero si sustituyo los valores en la ecuacion no se cumple.

En que me estoy equivocando?

Muchas gracias de antemano.
Invitado
 

Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor sleepylavoisier » 31 Ago 2017, 01:02

Hola.
Claro, lo que has resuelto es x^4-5x^2+4=0 pero en las ecuaciones logarítmicas hemos de tener muy en cuenta que el argumento de un logaritmo, por definición, ha de ser mayor que cero lo que nos obliga a comprobar siempre este tipo de ecuaciones y descartar las soluciones que no cumplen. En el segundo miembro aparece log X, entonces cualquier x negativo hay que tirarlo a la basura. No nos vale.
Saludos.
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Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor Basileia » 31 Ago 2017, 15:53

Exacto, las soluciones negativas fuera y para x=1 y x=2 sí se cumple la ecuación.
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Basileia
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Re: Ecuacion radicalica

Mensaje sin leerpor Invitado » 31 Ago 2017, 22:37

Gracias a los dos! el problema es que no me daba la comprobación con los valores de x: 1 y 2. Y eso que lo repetí varias veces :o pero tampoco veía ningún fallo en la resolución...
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