por Vielbein » 27 Jun 2018, 23:34
Hola.
El ejercicio de la astronave era muy divertido.
No estoy de acuerdo en lo del oscilador que mencionáis (no totalmente).
La ecuación a-k²x=0 es lo que se llama un oscilador hiperbólico, y se produce en movimientos con fuerza constante proporcional al desplazamiento...Por ejemplo, con fuerza centrípeta a=d²r/dt²=w²r...
He pensado en un truco sucio nuevo para simplificar la solución...Aunque hay que dominar funciones hiperbólicas (¿realmente el cerebro que pone estos exámenes con timing lo planea todo?).
a-k²x=0 en vez de con exponencionales, podemos usar funciones hiperbólicas ACh(kt) y BSh(kt) ...Notad que es el análogo de a+w²x=0, con x=Asen(wt)+Bcos(wt)
x(t)=ASh(kt)+BCh(kt)
v(t)=AkCh(kt)+BkSh(kt)
Impongamos las condiciones x(0)=0 y v(0)=36000km/h.
Entonces, B=0, y 36000=Ak (ya que Sh(0)=0 y Ch(0)=1).
X(t)=ASh(kt)=36000/k Sh(kt)
V(t)=AkCh(kt)=36000Ch(kt)
No se me había ocurrido integrar la ecuación con el truco a=dv/dt=dv/dx(dx/dt)=k²x, pero es útil para hallar la k...Que sale como bien decís: k²=9,6256 h⁻², y k=3,103 h⁻¹ (es importante el tema de la raíz cuadrada para la solución del tiempo). Teniendo k, puedo calcular A (tiene narices la combinación que hay que hacer para sacar los datos que aparentemente no están): A=36000/3,103=11603 km. Aunque calcular A no era necesario para el tiempo...Veréis...
Ahora viene mi bomba. Para hallar el tiempo, usamos funciones trigonométricas inversas (el análogo de las arcos en las hiperbólicas).
39200=36000Ch(3,103 t), t=ACh(39200/36000)/3,103=0,4186/3,103=0,1349horas=8,094min=486s (que coincide con lo que decís por ahí, del orden de 500 segundos).
Comentarios extras:
-Este tipo de movimiento es típico de movimientos relativistas. Pero con una aproximación no relativista sale un MRUA. Creo que algunos opositores razonaron lo siguiente:
v=v(0)+at
v²=v(0)²+2a(x-x(0))
Despejando t de la primera e insertando en la segunda:
a=(v-v(0))/t
t=2(v-v(0))(x-x(0))/(v²-v(0)²)=2(x-x(0))/(v+v(0))
Sustituyendo datos, t=0,133 horas=7,98min= (aproximadamente igual a lo de arriba) =479 segundos, también del orden de 500 segundos, y solamente 7 segundos separado de la solución hiperbólica más exacta (me gustaría saber la física concreta de este problema, pero creo es una astronave relativista en la aproximación no relativista, y que un movimiento hiperbólico en relatividad especial a baja velocidad sale muy aproximadamente un MRUA). Interrogante: ¿puntuarán el uso del MRUA igual que el de la ecuación diferencial en la obtención del tiempo?
Ahora solamente me falta la parte de la masa y de la fuerza, que me gustaría saber si alguien tiene el enunciado...
Hola.
El ejercicio de la astronave era muy divertido.
No estoy de acuerdo en lo del oscilador que mencionáis (no totalmente).
La ecuación a-k²x=0 es lo que se llama un oscilador hiperbólico, y se produce en movimientos con fuerza constante proporcional al desplazamiento...Por ejemplo, con fuerza centrípeta a=d²r/dt²=w²r...
He pensado en un truco sucio nuevo para simplificar la solución...Aunque hay que dominar funciones hiperbólicas (¿realmente el cerebro que pone estos exámenes con timing lo planea todo?).
a-k²x=0 en vez de con exponencionales, podemos usar funciones hiperbólicas ACh(kt) y BSh(kt) ...Notad que es el análogo de a+w²x=0, con x=Asen(wt)+Bcos(wt)
x(t)=ASh(kt)+BCh(kt)
v(t)=AkCh(kt)+BkSh(kt)
Impongamos las condiciones x(0)=0 y v(0)=36000km/h.
Entonces, B=0, y 36000=Ak (ya que Sh(0)=0 y Ch(0)=1).
X(t)=ASh(kt)=36000/k Sh(kt)
V(t)=AkCh(kt)=36000Ch(kt)
No se me había ocurrido integrar la ecuación con el truco a=dv/dt=dv/dx(dx/dt)=k²x, pero es útil para hallar la k...Que sale como bien decís: k²=9,6256 h⁻², y k=3,103 h⁻¹ (es importante el tema de la raíz cuadrada para la solución del tiempo). Teniendo k, puedo calcular A (tiene narices la combinación que hay que hacer para sacar los datos que aparentemente no están): A=36000/3,103=11603 km. Aunque calcular A no era necesario para el tiempo...Veréis...
Ahora viene mi bomba. Para hallar el tiempo, usamos funciones trigonométricas inversas (el análogo de las arcos en las hiperbólicas).
39200=36000Ch(3,103 t), t=ACh(39200/36000)/3,103=0,4186/3,103=0,1349horas=8,094min=486s (que coincide con lo que decís por ahí, del orden de 500 segundos).
Comentarios extras:
-Este tipo de movimiento es típico de movimientos relativistas. Pero con una aproximación no relativista sale un MRUA. Creo que algunos opositores razonaron lo siguiente:
v=v(0)+at
v²=v(0)²+2a(x-x(0))
Despejando t de la primera e insertando en la segunda:
a=(v-v(0))/t
t=2(v-v(0))(x-x(0))/(v²-v(0)²)=2(x-x(0))/(v+v(0))
Sustituyendo datos, t=0,133 horas=7,98min= (aproximadamente igual a lo de arriba) =479 segundos, también del orden de 500 segundos, y solamente 7 segundos separado de la solución hiperbólica más exacta (me gustaría saber la física concreta de este problema, pero creo es una astronave relativista en la aproximación no relativista, y que un movimiento hiperbólico en relatividad especial a baja velocidad sale muy aproximadamente un MRUA). Interrogante: ¿puntuarán el uso del MRUA igual que el de la ecuación diferencial en la obtención del tiempo?
Ahora solamente me falta la parte de la masa y de la fuerza, que me gustaría saber si alguien tiene el enunciado...