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Buenas noches compañeros.
Son frecuentes los estereotipos en ciencia que damos por verdades absolutas pero al analizarlos en profundidad descubrimos que no son ciertos. Por ejemplo, personalmente tenía claro y asumido que el tiempo transcurre a un ritmo más lento cuanto más intenso es el campo gravitatorio en el que nos encontremos (recordemos Interstellar:
https://cienciadesofa.com/2014/12/por-q ... ellar.html ), pero se me cayeron los palos del sombrajo al leer una reciente entrada en el espléndido blog del profesor Francisco R. Villatoro (al cual hay que agradecer su ojo clínico para proponer interesantes problemas que podemos trabajar con nuestros estudiantes):
https://francis.naukas.com/2018/12/30/e ... uperficie/Resulta que en el centro de la Tierra el tiempo corre más lento que en su superficie, ¿cómo es posible?, porque tengo entendido que en el centro de la Tierra no es que sea intenso el campo, ¡es que se anula!, g = 0. Entremos en harina.
El siglo pasado Albert Einstein propuso un gedankenexperiment que nos permite comprender grosso modo la dilatación temporal gravitacional en campos débiles, como el de nuestro planeta. Se trata de soltar una masa m desde una altura h sobre la superficie terrestre. Inicialmente tendrá una energía m•c². Cuando llegue al suelo, despreciando cualquier rollo relativista, rozamientos, etc., lo hará con la conocida velocidad de la caída libre:
v =√ (2•g•h)
Es decir, su energía se habrá incrementado, con la cinética, en ½ • m • v² = m•g•h ; y vendrá dada por: m•c² + m•g•h
Ahora viene la parte que más me gusta, escojamos la mejor de nuestras varitas mágicas y, justo antes del choque con el suelo (punto 1), convirtamos la masa m, con toda esta energía m•c² + m•g•h, en un fotón de frecuencia ƒ1 que se emite hacia arriba. Su energía vendrá dada, siguiendo a Max Planck, por
E1 =
ℎ • ƒ1
Claro que cuando el fotón llegue al punto 2, situado a la altura h, indefectiblemente se va a ver sometido al incuestionable principio de conservación de la energía que le obliga a tener una energía:
E2 =
ℎ • ƒ2 < E1
Vamos, que: ƒ2 < ƒ1 , su frecuencia debe disminuir según sube, no hay escapatoria, ha de desplazarse gravitacionalmente al rojo y podemos calcular fácilmente la relación entre sus energías (o sus frecuencias, como queráis) en uno y en dos:
E2 / E1 =
ℎ•ƒ2 /
ℎ•ƒ1 = ƒ2 / ƒ1 = m•c² / (m•c² + m•g•h) = (1 + g•h/c²) ¯¹
¿Aproximamos con el binomio de Sir Isaac Newton?, que fue su cumpleaños hace pocos días. Notemos que c²>>>g•h y por consiguiente g•h/c²<<<1:
(1 + g•h/c²) ¯¹ ≈ 1 - g•h/c²
Sustituyendo llegamos a:
ƒ2 = ƒ1 • (1 - g•h/c²)
O bien, (ƒ1 – ƒ2) / ƒ1 = g•h/c²
Guay, ¿no?, y, aunque lo parezca, no es ningún cuento de hadas pues la ecuación se ha comprobado empíricamente por activa y por pasiva, la primera vez en 1960 por Pound y Rebka con la emisión gamma de una transición atómica que ascendió los 22,6 m de altura de la torre del Jefferson Physical Laboratory en Harvard. Si la fórmula era correcta la frecuencia se debía desplazar al rojo en una fracción:
(ƒ1 – ƒ2) / ƒ1 = 9,8•22,6 / (3•10^8)² = 2,46•10^-15
Esta minúscula diferencia pudo medirse y verificarse gracias al efecto Mössbauer con una incertidumbre del 1%.
Ahora bien, g•h es una expresión imprecisa de la diferencia de potencial gravitatorio, entre el punto alto 2 y el bajo 1, que solo nos vale cuando h<<<radio terrestre (R); de manera más general deberíamos sustituir g•h por ΔV = V2 – V1 que en el caso particular que estamos analizando valdría:
ΔV = – G•M/(R+h) + G•M/R
Por lo tanto, la ecuación queda más chula así:
ƒ2 = ƒ1 • (1 - ΔV/c²) = ƒ1 • [1 - (V2 – V1)/c²]
O bien, (ƒ1 - ƒ2) / ƒ1 = ΔV/c² = (V2 – V1)/c²
Ya sabemos que la frecuencia es el inverso del período, T = 1/ƒ, y entonces reescribimos nuestras fórmulas como:
T1 = T2 • (1 - ΔV/c²) = T2 • [1 - (V2 – V1)/c²]
O bien, ΔT / T2 = (T2 – T1) / T2 = ΔV/c² = (V2 – V1)/c²
En el experimento mental einsteniano que estamos tratando, y con las fórmulas anteriores, como V2>V1 (el potencial gravitatorio en altura es menos negativo que en la superficie, ya que tomamos como referencia cero en el infinito y los potenciales gravitatorios son negativos hasta llegar a cero en el infinito), se deduce que ƒ1 > ƒ2, o que T2 > T1. Esto nos induce a pensar que una diferencia de potencial gravitatorio implica una dilatación del tiempo en el punto de potencial más bajo. En otras palabras, en 1, donde el potencial gravitatorio es más bajo (más negativo), el tiempo se dilata y entonces corre a un ritmo más lento.
Es decir, es conveniente pensar en términos de V y no de g. Como veremos a continuación, en el centro de la Tierra el potencial gravitatorio, V(0), es menor (más negativo) que en la superficie V(R) y podríamos afirmar que: “el centro de la Tierra es más joven que su superficie”, a pesar de que se puede calcular que la intensidad del campo gravitatorio ahí se anula, g=0.
En realidad, la frase anterior entrecomillada es un embuste. Para analizar la vejez o juventud del centro y de la superficie terrestre hemos de tener en cuenta los procesos geofísicos que les hace cambiar continuamente (tectónica de placas, etc.).
Pero sí creo poder afirmar que para un observador inmortal (que ha acompañado a la Tierra desde su formación) en el núcleo han pasado menos años, medidos por él, que para otro análogo situado en la corteza terrestre que lleva midiendo allí desde que se forjó la Tierra hace unos cuatro mil quinientos millones de años.
De hecho, otro de los grandes, Richard Feynman, desafió a sus estudiantes a calcular esta diferencia de tiempo, en el curso 1962/63 que impartió en Caltech. Por lo visto, en sus Lectures on Gravitation puede leerse: “…el centro de la Tierra ha de ser uno o dos días más joven que su superficie”.
O bien se equivocó el mismísimo Feynman (cosa que dudo) o metieron la pata los transcriptores de sus conferencias, porque, como veremos a continuación, se trata de un embuste más, ya que las unidades están incorrectas y debió decir: “…el centro de la Tierra ha de ser uno o dos años más joven que su superficie”.
Veamos, para calcular el potencial gravitatorio en el interior de la Tierra a una distancia r de su centro podemos empezar aplicando el teorema de Gauss para obtener g:
g•4π•r² = - 4π•G•m
donde m es la masa de Tierra encerrada por la superficie gaussiana esférica de radio r ≤ R
Entonces g = - G•m/r²
El signo menos nos dice que g lleva sentido contrario a r.
Si asumimos una Tierra homogénea ρ = constante:
ρ = M / (4π•R³/3) = m / (4π•r³/3)
Entonces m = M•r³/R³ que sustituida en la ecuación de g da:
g = - G•M•r³/(r² • R³) = - G•M•r/R³
Ahora calculamos el potencial integrando g = - ∂V/∂r
- ∫ dV = ∫ g•dr = - G•M/R³ • ∫ r•dr
Con límites de integración: inferior r=R y superior r=0; nos queda:
- [V(0) – V(R)] = - G•M/R³ • (0²/2 - R²/2) = G•M•R²/2R³
ΔV = V(R) – V(0) = G•M / 2R > 0 ⇒ V(R) > V(0)
De esta manera nos encontramos en condiciones de calcular la diferencia de tiempos transcurridos entre la superficie, to, y el centro, t:
Δt = to – t = to• ΔV/c² = to• G•M / (2R•c²)
to= 4543 millones de años de existencia de la Tierra = 4,543•10^9 años
G = 6,674•10^-11 N•m²/kg²
M = masa de la Tierra = 5,972•10^24 kg
R = radio de la Tierra = 6,371•10^6 m
c = velocidad de la luz en el vacío = 299792458 m/s
Δt = to – t = 4,543•10^9•6,674•10^-11•5,972•10^24 / [2•6,371•10^6•(299792458)²] = 1,581137837 años
Δt = to – t = 1,58 años (¡no días!)
Ahora bien, nuestra Tierra no es homogénea ni de lejos por lo que el cálculo anterior debe ser un embuste igualmente. A medida que profundizamos, internamente en nuestro planeta, esperamos encontrar materiales cada vez más densos hasta llegar al núcleo de hierro y níquel.
Una Tierra más realista respondería a un perfil de densidad en función del radio, como el que podemos encontrar de la mano del genial profesor y magnífico divulgador Arturo Quirantes, fielmente basado en el modelo PREM (Preliminary Reference Earth Model), de A.M. Dziewonski y D.L. Anderson:
https://www.cfa.harvard.edu/~lzeng/papers/PREM.pdfAsemeja nuestra Tierra a una cebolla, con capas en cada una de las cuales la densidad se modela como función parabólica del radio, r:
ρ(r) = a•r²+ b•r + c
En la página de tutorías de Arturo Quirantes:
http://elprofedefisica.es/2017/11/07/fi ... -tierra-1/puede encontrarse una tabla (todos los números con unidades S.I.) con los parámetros a, b y c, así como el radio exterior, Re, e interior, Ri, para cada una de las cuatro capas que se toman en consideración: núcleo interno y externo, manto y “exterior” (en esta última engloba todas las capas más allá del manto).
¿Preparados para integrar, compañeros? ¡Al ataque!
Lo primero que hice fue calcular la masa de cada una de las rebanadas de nuestra cebolla tomando capas infinitesimales de volumen dV = 4π•r²•dr
Mc = ∫ ρ•dV = 4π ∫ ρ•r²•dr = 4π ∫ (a•r² + b•r + c)•r²•dr = 4π ∫ (a•r^4 + b•r^3 + c•r^2)•dr
(Con límites de integración: inferior r=Ri y superior r=Re)
Masa de cada capa = Mc = 4π•[a•(Re^5 – Ri^5)/5 + b•(Re^4 – Ri^4)/4 + c•(Re^3 – Ri^3)/3]
A continuación integré para cada capa: g = - ∂V/∂r, con límites de integración entre r=Re (inferior) y r=Ri (superior):
- ∫ dV = - [V(Ri) – V(Re)] = V(Re) – V(Ri) = ∫ g•dr = - G • ∫ m/r²•dr
Como m es la masa de Tierra que encierra la superficie gaussiana:
m = 4π•[a•(r^5 – Ri^5)/5 + b•(r^4 – Ri^4)/4 + c•(r^3 – Ri^3)/3] + Mci
Donde Mci es la masa de las capas interiores completas (ya calculadas) que encierra la superficie esférica gaussiana en cada caso:
- para el núcleo interno no hay capas internas y, obviamente, Mci = 0
- para el núcleo externo, Mci = Mc del núcleo interno
- para el manto, Mci = Mc del núcleo interno + Mc del externo
- y para el “exterior”, Mci = Mc del núcleo interno + Mc del externo + Mc del manto.
La integral no es difícil (polinómica) pero es tediosa, la verdad sea dicha. Os pongo los resultados finales:
-Para el núcleo externo, el manto y el “exterior” vale:
4πG•{ a/5•[(Re^4-Ri^4)/4+Ri^5•(1/Re-1/Ri)]+b/4•[(Re^3-Ri^3)/3+Ri^4•(1/Re-1/Ri)]+c/3•[(Re^2-Ri^2)/2+Ri^3•(1/Re-1/Ri)] }-G•Mci•(1/Re-1/Ri)
-Para el núcleo interno, como en el centro r=Ri=0, eliminamos todos los términos donde aparece Ri y también el término de masa de capas internas, Mci=0, entonces queda:
4πG•(a/5•Re^4/4+b/4•Re^3/3+c/3•Re^2/2)
Todos los resultados numéricos obtenidos (solo utilizo S.I.), aplicando las fórmulas anteriores, los he resumido en la hoja de excel que adjunto. Obtengo un resultado final que se pasa de la estimación que hizo Feynman:
Δt = to – t = 2,49 años (¡no días!)
Los resultados que he calculado coinciden al milímetro con un paper que se publicó en 2016 y que es el germen de lo que he escrito:
https://arxiv.org/pdf/1604.05507Me parece un problema muy interesante, del que se puede aprender mucho y con el que me he soñado un par de días:
https://www.youtube.com/watch?v=gg7odj4FpVEYa sé que esto no entra en el infierno de currículum LOMCE de Física pero, ahora que no nos oye ningún inspector, yo dedicaría uno o dos recreos para comentárselo a los alumnos más avezados de 2º de Bachillerato, en el tercer trimestre por supuesto.
Hasta pronto compañeros.
P.D.: En el experimento mental de Einstein que hemos tratado, la ecuación de dilatación temporal gravitacional utilizada:
t1 = t2 • (1 - ΔV/c²) = t2 • [1 - (V2 – V1)/c²] = t2 • { 1 – G•M•[ 1/R – 1/(R+h) ] / c² }
es una aproximación válida únicamente para campos débiles. La ecuación exacta, que debemos utilizar cuando el campo es intenso, se puede deducir de las ecuaciones de campo de Einstein:
t1 = t2 • { 1 – 2•G•M / [ (R+h)•c² ] }^(-1/2) • [ 1 – 2•G•M /(R•c²) ]^(1/2)
pero…, ejem…, dejaré la demostración para otra ocasión.