Hola compañeros.
Con respecto a las transiciones electrónicas en los átomos, son muchos los libros en los que nos encontramos afirmaciones como:
Para que tenga lugar la absorción de un fotón, la energía del fotón debe coincidir exactamente con la diferencia de energía entre los estados inicial y final, es decir,
v = (Ef-Ei)/h
Me parece un pequeñísimo embuste, pero me lo parece porque todos sabemos que una onda transporta dos cosas: energía y cantidad de movimiento, no podemos olvidarnos del momento lineal. La radiación electromagnética que se propaga a velocidad c en el vacío no es una excepción y echando mano de las ecuaciones de Maxwell se puede demostrar que la energía, E, y el momentum, p, que lleva una onda electromagnética plana, son directamente proporcionales según:
E=c•p
(fórmula que ha sido demostrada empíricamente, por activa y por pasiva, con experimentos de presión de la radiación).
Un fotón es “un paquete de radiación electromagnética”, así que: Pfotón = E/c
Entonces, cuando se produce una transición electrónica a un nivel energético superior en un átomo inicialmente en reposo, por ejemplo de hidrógeno, por absorción de un fotón (cuya energía, siguiendo a Planck y Bohr, sabemos que es E=h•v) el principio de conservación del momento lineal nos dice a gritos que, para mantenerse constante, el átomo debe retroceder con p igual y opuesto al del fotón:
Pátomo = Pfotón = E/c = h•v/ c
Vamos, que al utilizar la conservación de la energía pienso que se debería tener en cuenta la energía cinética de retroceso del átomo que absorbió el fotón:
Eátomo=1/2•m•V^2=Pátomo^2/(2•m)
Y el balance de energía del proceso entre el instante inicial y final de la transición radiativa quedaría:
Ei + h• v = Ef + (Pátomo^2 / 2•m)
Es decir,
Ef-Ei = h•v - (Pátomo^2 / 2•m) = h•v - [(h•v)^2 / (2•m•c^2)] = h•v•[1- h•v/(2•m•c^2)]
Despejando (h•v):
E fotón absorbido = h•v = (Ef-Ei)•[1- h• v/(2•m•c^2)]^-1
Aproximando el factor entre corchetes con el binomio de Sir Isaac, (1-x)^-1 =1+x+… , donde x= h•v/(2•m•c^2) que suponemos una cantidad muy inferior a la unidad:
E fotón absorbido = h•v≈(Ef-Ei)•[1+h•v/(2•m•c^2)]
Como (Ef-Ei) entre los dos niveles energéticos del átomo será, como nos dicen los libros, casi (h• v) sustituimos en la expresión anterior:
E fotón absorbido = h•v ≈(Ef-Ei)•[1+ (Ef-Ei)/(2•m•c^2)]
E fotón absorbido = h•v≈ (Ef-Ei) + (Ef-Ei)^2/(2•m•c^2)
De esta manera creo que podríamos afirmar que el
fotón absorbido no ha de tener exactamente la diferencia de energía entre niveles, (Ef-Ei). Para que la absorción tenga lugar,
la energía del fotón debiera ser ligeramente mayor que la diferencia de energía entre los niveles del átomo absorbente para compensar la energía de retroceso del átomo, estimada como (Ef-Ei)^2/(2•m•c^2).
Un razonamiento, totalmente análogo y simétrico, pero recíproco, al anterior, para la emisión de un fotón por transición de un electrón que pasa de un estado excitado al fundamental, nos llevaría a:
E fotón emitido = h•v≈ (Ei-Ef) - (Ei-Ef)^2/(2•m•c^2)
Es decir, cuando un átomo
emite un fotón, su energía h•v será
ligeramente inferior que la diferencia de energía entre los niveles del átomo emisor para compensar la susodicha energía de retroceso del átomo
No obstante, echando mano de la mecánica cuántica, uno se da cuenta que la energía de un nivel energético en el átomo y el tiempo que el electrón está en él no conmutan así que podemos establecer la conocida relación de indeterminación de Heisenberg:
ΔE• Δt ≥ h/4π
Puesto que en el estado fundamental el electrón no puede efectuar una transición a un estado de energía inferior, tenemos Δt ~ ∞ con lo que ΔE = 0 y tendríamos una línea nítida para este estado fundamental, pudiéndose determinar exactamente su energía.
Pero los estados excitados son muy transitorios, siendo su vida media del orden de Δt =10^-8 s con lo que no tendríamos líneas nítidas para ellos, más bien bandas con un cierto ancho energético del orden (o mayor) de:
ΔE = h/(4π•Δt) = 6,63•10^-34 / (4π•10^-8) = 5,3•10^-27 J = 3,3•10^-8 eV
Si calculamos la energía de retroceso para el átomo de hidrógeno, poniéndonos en el peor de los casos, en la transición de n=1 a n=∞ (Ef-Ei = 13,6 eV):
(Ef-Ei)^2/(2•m•c^2) = 13,6^2 •1,6•10^-19/(2•1,67•10^-27•9•10^16)= 9,8•10^-8 eV
Y en el mejor de los casos, de n=1 (-13,6 eV) a n=2 (-3,4 eV):
(Ef-Ei)=-3,4-(-13,6)= 10,2 eV
(Ef-Ei)^2/(2•m•c^2) = 10,2^2 •1,6•10^-19/(2•1,67•10^-27•9•10^16)= 5,5•10^-8 eV
Es decir, aunque un pelín superiores, podemos observar que las energías de retroceso para el átomo de hidrógeno nos salen del mismo orden que el ancho energético de los estados excitados, además hay componentes adicionales que dan lugar a un mayor ensanchamiento en la energía de los estados estacionarios, como el efecto Doppler, pues los átomos estarán en movimiento respecto del observador.
En fin compañeros, perdonadme por el rollo que os he metido, pero creo que podemos aceptar barco como animal acuático y mantener a flote nuestra famosa fórmula: v = (Ef-Ei) / h; como era de esperar.
Saludos.
Fuente:
ALONSO, Marcelo; Finn, Edwar J., FISICA, VOLUMEN III: FUNDAMENTOS CUÁNTICOS Y ESTADÍSTICOS.
CAPÍTULO 1: FUNDAMENTOS DE LA FÍSICA CUÁNTICA.
Ejemplo 1.6. Conservación de la energía y del momentum en transiciones radiativas.
Ejemplo 1.10. Posibilidad de absorción resonante en transiciones atómicas y nucleares como resultado del ancho energético de los estados estacionarios.
https://es.slideshare.net/lasso1056/alo ... onductores
Hola compañeros.
Con respecto a las transiciones electrónicas en los átomos, son muchos los libros en los que nos encontramos afirmaciones como:
[quote]Para que tenga lugar la absorción de un fotón, la energía del fotón debe coincidir [b]exactamente[/b] con la diferencia de energía entre los estados inicial y final, es decir,
v = (Ef-Ei)/h[/quote]
Me parece un pequeñísimo embuste, pero me lo parece porque todos sabemos que una onda transporta dos cosas: energía y cantidad de movimiento, no podemos olvidarnos del momento lineal. La radiación electromagnética que se propaga a velocidad c en el vacío no es una excepción y echando mano de las ecuaciones de Maxwell se puede demostrar que la energía, E, y el momentum, p, que lleva una onda electromagnética plana, son directamente proporcionales según:
E=c•p
(fórmula que ha sido demostrada empíricamente, por activa y por pasiva, con experimentos de presión de la radiación).
Un fotón es “un paquete de radiación electromagnética”, así que: Pfotón = E/c
Entonces, cuando se produce una transición electrónica a un nivel energético superior en un átomo inicialmente en reposo, por ejemplo de hidrógeno, por absorción de un fotón (cuya energía, siguiendo a Planck y Bohr, sabemos que es E=h•v) el principio de conservación del momento lineal nos dice a gritos que, para mantenerse constante, el átomo debe retroceder con p igual y opuesto al del fotón:
Pátomo = Pfotón = E/c = h•v/ c
Vamos, que al utilizar la conservación de la energía pienso que se debería tener en cuenta la energía cinética de retroceso del átomo que absorbió el fotón:
Eátomo=1/2•m•V^2=Pátomo^2/(2•m)
Y el balance de energía del proceso entre el instante inicial y final de la transición radiativa quedaría:
Ei + h• v = Ef + (Pátomo^2 / 2•m)
Es decir,
Ef-Ei = h•v - (Pátomo^2 / 2•m) = h•v - [(h•v)^2 / (2•m•c^2)] = h•v•[1- h•v/(2•m•c^2)]
Despejando (h•v):
E fotón absorbido = h•v = (Ef-Ei)•[1- h• v/(2•m•c^2)]^-1
Aproximando el factor entre corchetes con el binomio de Sir Isaac, (1-x)^-1 =1+x+… , donde x= h•v/(2•m•c^2) que suponemos una cantidad muy inferior a la unidad:
E fotón absorbido = h•v≈(Ef-Ei)•[1+h•v/(2•m•c^2)]
Como (Ef-Ei) entre los dos niveles energéticos del átomo será, como nos dicen los libros, casi (h• v) sustituimos en la expresión anterior:
E fotón absorbido = h•v ≈(Ef-Ei)•[1+ (Ef-Ei)/(2•m•c^2)]
E fotón absorbido = h•v≈ (Ef-Ei) + (Ef-Ei)^2/(2•m•c^2)
De esta manera creo que podríamos afirmar que el[b] fotón absorbido[/b] [b]no ha de tener exactamente[/b] la diferencia de energía entre niveles, (Ef-Ei). Para que la absorción tenga lugar, [b]la energía del fotón debiera ser ligeramente mayor[/b] que la diferencia de energía entre los niveles del átomo absorbente para compensar la energía de retroceso del átomo, estimada como (Ef-Ei)^2/(2•m•c^2).
Un razonamiento, totalmente análogo y simétrico, pero recíproco, al anterior, para la emisión de un fotón por transición de un electrón que pasa de un estado excitado al fundamental, nos llevaría a:
E fotón emitido = h•v≈ (Ei-Ef) - (Ei-Ef)^2/(2•m•c^2)
Es decir, cuando un átomo [b]emite un fotón[/b], su energía h•v será [b]ligeramente inferior[/b] que la diferencia de energía entre los niveles del átomo emisor para compensar la susodicha energía de retroceso del átomo
No obstante, echando mano de la mecánica cuántica, uno se da cuenta que la energía de un nivel energético en el átomo y el tiempo que el electrón está en él no conmutan así que podemos establecer la conocida relación de indeterminación de Heisenberg:
ΔE• Δt ≥ h/4π
Puesto que en el estado fundamental el electrón no puede efectuar una transición a un estado de energía inferior, tenemos Δt ~ ∞ con lo que ΔE = 0 y tendríamos una línea nítida para este estado fundamental, pudiéndose determinar exactamente su energía.
Pero los estados excitados son muy transitorios, siendo su vida media del orden de Δt =10^-8 s con lo que no tendríamos líneas nítidas para ellos, más bien bandas con un cierto ancho energético del orden (o mayor) de:
ΔE = h/(4π•Δt) = 6,63•10^-34 / (4π•10^-8) = 5,3•10^-27 J = 3,3•10^-8 eV
Si calculamos la energía de retroceso para el átomo de hidrógeno, poniéndonos en el peor de los casos, en la transición de n=1 a n=∞ (Ef-Ei = 13,6 eV):
(Ef-Ei)^2/(2•m•c^2) = 13,6^2 •1,6•10^-19/(2•1,67•10^-27•9•10^16)= 9,8•10^-8 eV
Y en el mejor de los casos, de n=1 (-13,6 eV) a n=2 (-3,4 eV):
(Ef-Ei)=-3,4-(-13,6)= 10,2 eV
(Ef-Ei)^2/(2•m•c^2) = 10,2^2 •1,6•10^-19/(2•1,67•10^-27•9•10^16)= 5,5•10^-8 eV
Es decir, aunque un pelín superiores, podemos observar que las energías de retroceso para el átomo de hidrógeno nos salen del mismo orden que el ancho energético de los estados excitados, además hay componentes adicionales que dan lugar a un mayor ensanchamiento en la energía de los estados estacionarios, como el efecto Doppler, pues los átomos estarán en movimiento respecto del observador.
En fin compañeros, perdonadme por el rollo que os he metido, pero creo que podemos aceptar barco como animal acuático y mantener a flote nuestra famosa fórmula: v = (Ef-Ei) / h; como era de esperar.
Saludos.
Fuente:
ALONSO, Marcelo; Finn, Edwar J., FISICA, VOLUMEN III: FUNDAMENTOS CUÁNTICOS Y ESTADÍSTICOS.
CAPÍTULO 1: FUNDAMENTOS DE LA FÍSICA CUÁNTICA.
Ejemplo 1.6. Conservación de la energía y del momentum en transiciones radiativas.
Ejemplo 1.10. Posibilidad de absorción resonante en transiciones atómicas y nucleares como resultado del ancho energético de los estados estacionarios.
https://es.slideshare.net/lasso1056/alonso-finn-cap-1-fisica-de-semiconductores